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教研論文

在體驗中思考的數學課堂實踐(段文山)

在體驗中思考的數學課堂實踐

 

 

學生動手了……

1:在上節課中,求第個圖案中所需紙片塊數時,按行計算,即,現在就應該按層計算,第層所需紙片塊數為,因此層塔所需紙片塊為=.

師:這是等差數列求和嗎?

生:不是.

2:但我們發現從第2項起,后一項減前一項得到的數列:2,3,4,…,是一個等差數列.

師:這一發現太重要了,能一個關系式表示嗎?

2:我們試試…

3:我行!

師:精彩!根據第n層所堆紙片塊數,其它各層的塊數是不是也可以寫成這個形式?

生:.

師:很好!前面我們已經會求等差、等比數列的前項和,這類和怎么求呢?

根據加法的交換律,有:

.

我們稱這種數列求和的方法為“分組法”,這里:.

于是.

老師還說完,學生就有話說.

生:怎么來的?講一下吧.

評注:當操作與思維情感聯系起來時,操作便成為培養學生創新意識的源泉.“分組法”容易理解,為什么突然“冒出” 呢?如果老師只告訴學生,課本第58頁給出了這個公式,學生課后自己上網去了解它的推導,這樣未嘗不可,但卻沒能把學生的思考引向深入.

師:這個問題還真令老師措手不及,不過,我想到了前面了解過的正方形數,我們是不是將圖4中各個圖案中的紙片塊也象剛才那樣操作,壘成一個“塔”,…

生:壘一個層塔所需紙片塊數為.(太神了?。?span lang="EN-US">

師:求1+2+3++時,用的是“倒序相加”法,卻將1,2,3,…,擺成一個三角形,然后順時針旋轉180°得到一個倒放的三角形,兩者拼成一個平行四邊形再求和,這種思維對于求的和是否會有啟發呢?

生:嘗試、討論、合作、交流…

師:要擺成三角形狀,要將所有數都擺完.

生:可是紙片中只有1,哪能得到?

師:那我們就在紙片背面分別標上數字:1,2,3,4,…,怎么樣?

評注:數學家波利亞說:“一個涌上腦際的念頭,倘若毫無困難地通過一些明顯的行動就達到了所求的目標,那就不會產生問題.然而,倘若我想不出這樣明顯的行動來,那就產生了問題.那就意味著要去找出適當的行動,去達到一個可見而不即時可及的目的.”“紙片只標有1,那就在背面再標數字!”新知識在學生的體驗中自然而然產生.

4:我們成功了.如圖7-1.

 

 

 

 

 

 

5:可是,將圖7-1順時針針旋轉180°后的圖案與原圖案拼在一起后,各行上的數字之和不相等.

師:我們既要受前面試驗的啟發,又不要受它的束縛.

生:轉30°、45°、60°、90°、…,嘗試著.

師:一個三角形有幾個角?

生:3.

6:有了,轉2次,每次只轉120°,如圖7-1、7-2、7-3拼成一起,每個位置上的數字之各均為.

所以=.

師:掌聲!

生:至此恍然大悟.“形數理論”的威力真大呀!

正當師生們沉醉于成功的喜悅中之際,一位同學提出自己當時有別于生6的想法:

7:老師既然說背面可標數字,我也標了數字,不過我當時理解為所標數字是每個正方形的邊長,這樣就成了:.

師:太有才了!那是不是也可以用“形數理論”求前個正整數的立方和呢?

生:上述兩種壘的形狀,從上到下各層的紙片塊數分別為:1,3,6,10,…和1,4,9,16,….

8:可以!如果各層紙片塊數分別為1,2,3,4,…,并且各紙片將分別是邊長分別為1,2,3,4,…的正方體,壘成塔的正視圖如圖8,其面積等于的面積,于是==.

師:這真是無巧不成書!太精彩了,我為你們的表演而驕傲.

評注:一次又一次的體驗活動激發學生積極思考,積極地思考帶動他們大膽探索,探索的過程中學生有新奇的發現,在這樣不斷探索發現的過程中,學生們享受著探索帶給他們的興奮,享受著與發現隨之而來的興奮,這種因探索而產生的創造帶給同學們的喜悅更具生命力.

實踐證明,在體驗中思考的數學課堂實踐是受學生歡迎的,在體驗中探究的形式進行教學,使學生“動”起來,使數學課“活”起來,學生的學習興趣大提高.這不僅培養了學生提出問題,分析問題,發現問題,解決問題的能力,也培養了學生的科學探究和互相團結合作的精神.

 

          528400 廣東省中山市東區中學 段文山

                                                    

新課標倡導積極主動、勇于探索的課堂教學實踐,動手操作的體驗課堂隨處可見,然而,怎樣的體驗課堂才能創造出一個個驚喜呢?通過動手操作,使學生獲得的不僅是知識與技能,更有一種認識事物的方式,一種超越現象認識隱藏于背后的本質的追求.本人嘗試:“在實踐中體驗,在體驗中思考,在思考中感悟,在感悟中創新”的數學課堂實踐,取得了較好的教學效果.

1 “操作”中體驗

陶行知先生說:“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時間,使他們充分得到自由的生活,從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索,放手讓學生去“做”,已成為廣大教師的共識,但如何“做”,為什么這么“做”,是否“做”得更好等諸多問題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學生盡量在真實的活動中獲得體驗,由表及里地審視數學知識,再現知識的形成過程.

案例Ⅰ“橢圓概念”的認識

師:“嫦娥奔月”,國人振奮.展示“嫦娥二號”探月的圖片,并提問:“嫦娥二號”運行的軌道是什么形狀?

生:橢圓!

師:同學們借助身邊可供操作的素材,嘗試著畫一個橢圓,邊思考橢圓是怎樣畫成的?

生:積極思考,合作探究,有的用圓規、有的用???,有的用小型膠帶(學生用品),有的徒手畫,有的借助畫圖板,…….10秒后,不少同學成功地畫出了橢圓,極少數同學仍在嘗試.

師:有哪位同學能在黑板上展示一下畫橢圓的過程嗎?

1:用一條繩子(無彈性)對折,一端用左手按住,另一端系一支粉筆,把繩子拉直,將粉筆旋轉一圈,松手一望,喲,怎么還是圓呢?

2:將對折后繩子的兩個端點稍分開,分別用兩個指頭按住,中間再用粉筆畫.

師:按照這位同學的思路在黑板上畫圖,故意將繩子變松,畫出圖:和”

課前準備:將班上同學分成9組,每組56人,每個小組分發大小相同的硬紙片,上面都寫著1.這足以引起同學們疑惑……

師:同學們,還記得前面了解過的古希臘畢達哥拉斯學派的浪漫沙灘之旅嗎?今天我們還是重溫當時的場景,請同學們借助硬紙片將它完成.

生:(釋惑)哦!原來要我們玩.很快就擺出如圖1、如圖2.

師:如圖3,第100個圖案中擺了幾塊硬約片?

生:圖3中前幾個圖案中還可以數,越往右邊的圖案所需塊數越多,擺到第100個圖案,肯定不夠的紙片.

評注:紙片塊數不夠,這一矛盾引起學生的認知沖突,學生們在做中體驗,要體驗中不約而同地遇到了困惑,有困惑就有思考,有思考就會有感悟,運用數學學習“再創造”理論,調動學生原有的知識和經驗,引導學生在實踐中真正“做”數學.

精彩還在繼續……

1:不如將其它組的硬紙片都拿過來(急中生智).

2:恐怕不行,要是擺到第1000個圖案呢?太麻煩了吧.

師:就是嘛,要請你擺到第2013個圖案,也這樣一個一個地擺嗎?

評注:疑問再次激起同學們探究的欲望,剛剛建立起來的認知平衡,被無情的事實擊倒了,迫使他們在熟悉而又具體的問題情境,主動地尋求解決問題的方法.

    到底該怎辦?

生:通過實驗、操作、討論、交流,從用硬紙片去擺,比較大時,擺第個圖案的紙片塊不夠,使學生對三角形數由感性認識處升到理性認識.

3:有了?。樱?,第個圖案的紙片塊數為,即將每一行的塊數加在一起.

師:很好.那么數列是什么數列?

生:等差數列.

師:這就是我們這節課要學習的內容:“等差數列前和.”(出示課題)

=?呢?

4:在旁邊再擺一個一樣的倒著放的一樣圖案,這樣每一行的紙片塊數相同,如圖3,這樣就可求=.

師:太妙了!將一個三角形圖案順時針旋轉180°后的圖案與原圖案拼成一個平行四邊形狀,再求和,這種數列求和的方法叫做“例序相加法”.

5:那正方形數也可以這樣求,先將它分割為如圖4,再由圖5可得:

.

 

 

 

 

 

 

師:太棒了!

下面就一般等差數列求前項和.

評注:由“經歷”到“經驗”非常重要的是思維和情感的真正參與,把操作活動變成學生的自覺行為,同時將知識和思想方法進行內化,由此誕生真正的數學思想.

3  “思考”中創新

層塔共需幾個紙片塊?

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